Diziler, olayların, nesnelerin veya herhangi bir şeyin sıralı listesidir. Kısaca, bir diziyi sıralı liste olarak adlandırabiliriz. Örnek olarak;

Çift Sayılar Listesi: 2, 4, 6, 8, 10, 12,…
Tek Sayılar Listesi: 1,3,5,7,9,11,… 

Ayrıca, özel olarak Fibonacci Dizisini örnek verebiliriz. Fibonacci Dizisinde, 0 ve 1’den başlayarak her sayı önceki iki sayının toplamından oluşur.

1,1,2,3,5,8,13,21,..

∀n ∈ N, ∀n ≥ 1  için f(n) =  \color{white}{a_n} ‘dir. Ayrıca, diziler  “(\color{white}{a_n})” veya “{\color{white}{a_n}}”  sembolleriyle gösterilebilir. {\color{white}{a_n}} dizisinde  \color{white}{a_n}  sayısı, dizinin n-inci terimidir.

 

Dizinin Sınırlılığı

∀n ≥ 1 için,  t ≤  \color{white}{a_n} olacak şekilde bir t ∈ R sayısı mevcut ise {\color{white}{a_n}} dizisi t sayısı ile alttan sınırlıdır denir. Dolayısıyla, bu t reel sayısı {\color{white}{a_n}} dizisinin bir alt sınırıdır. Aynı şekilde, ∀n ≥ 1  için,  \color{white}{a_n} ≤ T  olacak şekilde bir  T ∈ R  sayısı mevcut ise, {\color{white}{a_n}}  dizisi T sayısı ile üstten sınırlıdır denir. Dolayısıyla, bu T reel sayısı  {\color{white}{a_n}}  dizisinin bir üst sınırıdır. Eğer  {\color{white}{a_n}}  dizisi hem üstten hem de alttan sınırlı ise bu diziye, “sınırlı dizi” denir. 

 

Dizinin Yakınsaklığı

{\color{white}{a_n}}  bir dizi olmak üzere,  ∀ε > 0  için,  n ≥ N  iken  |\color{white}{a_n} – ℓ| < ε  olacak şekilde  bir N doğal sayısı mevcut ise  {\color{white}{a_n}}  dizisi ℓ sayısına yakınsar. Dolayısıyla,  {\color{white}{a_n}}  dizisi yakınsaktır denir. 

\color{white}{\lim_{n \to \infty} a_n} = ℓ

{\color{white}{a_n}}  ve  {\color{white}{b_n}}  sınırlı iki dizi ve c ∈ R olmak üzere;

• {\color{white}{a_n}} + {\color{white}{b_n}}  ve  {\color{white}{a_n}} – {\color{white}{b_n}}  dizileri sınırlıdır.
• {\color{white}{a_n}}.{\color{white}{b_n}}  dizisi sınırlıdır.
• c.{\color{white}{a_n}}  dizisi sınırlıdır. 

NOT:

• Bir dizi sadece bir limite sahip olabilir.
• Her yakınsak dizi sınırlıdır. Ancak, her sınırlı dizi yakınsak olmayabilir.

 

Dizinin Iraksaklığı

{\color{white}{a_n}} bir dizi olmak üzere, ∀M > 0 ve  M ∈ R için,  n ≥ N  iken  \color{white}{a_n} > M  olacak şekilde bir N doğal sayısı varsa,   {\color{white}{a_n}}  dizisi +∞’a ıraksar denir. 

\color{white}{\lim_{n \to \infty} a_n}= +∞

Benzer olarak, {\color{white}{a_n}} bir dizi olmak üzere, ∀M > 0 ve  M ∈ R  için, n ≥ N iken  \color{white}{a_n} < -M  olacak şekilde bir N doğal sayısı varsa,  {\color{white}{a_n}}  dizisi -∞’a ıraksar denir. 

\color{white}{\lim_{n \to \infty} a_n} = -∞

TEOREM:
f : {x ∈ R : x ≥ 1} → R  olmak şartıyla, \color{white}{\lim_{x \to \infty} f(x)} = ℓ  ve bütün n sayısı için  \color{white}{a_n} = f(n) ise, \color{white}{\lim_{n \to \infty} a_n} = ℓ ‘dir.

 

Dizilerde Sıkıştırma Teoremi

Kabul edelim ki,  n ≥ \color{white}{N_k}  iken  \color{white}{a_n} ≤ \color{white}{b_n} ≤ \color{white}{c_n}  olacak şekilde bir \color{white}{N_k} ∈ R vardır. Burada eğer,  {\color{white}{a_n}}  ve  {\color{white}{c_n}]}  dizilerinin her ikisi de aynı sayıya yakınsıyorsa,  {\color{white}{b_n}}  dizisi de aynı sayıya yakınsar. 

Ayrıca, bütün n sayısı için  |\color{white}{b_n}| < \color{white}{c_n}  olmak üzere;  \color{white}{\lim_{n \to \infty} c_n} = 0 ise,  \color{white}{\lim_{n \to \infty} b_n}= 0 olur.

TEOREM:
Eğer n → ∞ giderken  \color{white}{a_n} → α  ve f, x=a'da da sürekli bir fonksiyon ise,  \color{white}{\lim_{n \to \infty} f(a_n) \ = \ f(a)}   'dir.

 

Monoton Dizi

Bütün n doğal sayısı için  \color{white}{a_{n+1}} > \color{white}{a_n} ise   {\color{white}{a_n}}  dizisi artandır. Benzer şekilde, \color{white}{a_n}> \color{white}{a_{n+1}} ise,  {\color{white}{a_n}}  dizisi azalandır. Eğer bir dizi daima artan ya da daima azalan ise "monoton dizi" adı verilir. 

TEOREM:
Eğer bir dizi, artan olup; üstten sınırlı ise ya da azalan olup; alttan sınırlı ise, bu dizi sonlu bir limite sahiptir. 

Görüntüleme Sayısı: 3.563